Kongruensi

Pengertian Kongruensi

Jika kita berbicara konsep kongruensi sebenarnya hal ini secara tidak langsung sudah didapatkan pada pelajaran matematika Sekolah Dasar, hanya saja istilah yang digunakan sedikit berbeda yaitu bilangan jam atau bilangan bersisa. Cara yang dilakukan biasanya diperagakan dengan menggunakan jam sebagai media dalam operasi yang berlaku, baik jumlah maupun pengurangan.

Dalam bilangan dengan modulo 5, jika dioperasikan maka bilangan bulat yang digunakan adalah 0, 1, 2, 3, dan 4. Sedangkan bilangan bulat lainnya dapat direduksi yaitu dengan cara membagi bilangan tersebut dengan 5 dan bilangan yang digunakan adalah sisa dari pembagian tersebut.

Contoh:                      

14 dalam bilangan modulo 5 dapat direduksi menjadi 4, karena 14 jika dibagi 5 bersisa 4. 21 dalam bilangan modulo 5 dapat direduksi menjadi 1, karena 21 jika dibagi 5 bersisa 1. 61 dalam bilangan modulo 5 dapat direduksi menjadi 1, karena 61 jika dibagi 5 bersisa 1, dan seterusnya.

Berdasarkan proses reduksi dan operasi yang ada pada bilangan jam,selanjutnya dikembangkan konsep kongruensi sebagai berikut.

14 ≡ 4 karena jika 14 dibagi 5 bersisa 4

21 ≡ 1 karena jika 21 dibagi 5 bersisa 1

61 ≡ 1 karena jika 61 dibagi 5 bersisa 1

Pernyataan di atas dapat pula dinyatakan dengan 14 ≡ 2 karena 14 – 4 = 10 dan 10 habis dibagi 5

21 ≡ 1 karena 21 – 1 = 20 dan 20 habis dibagi 5

61 ≡ 1 karena 61 – 1 = 60 dan 60 habis dibagi 5.

Berdasarkan contoh di atas terlihat bahwa sesungguhnya konsep kongruensi adalah pengkajian secara lebih mendalam tentang keterbagian pada bilangan bulat dan sifat-sifatnya atau dapat pula dikatakan bahwa kongruensi adalah cara lain untuk mengkaji keterbagian dalam bilangan bulat

Definisi: jika m adalah suatu bilangan positif dan α, b, ϵ B, demikian sehingga m | (a-b), maka dikatakan “a kongruen b modula m” ditulis :

a≡b (mod m) ↔a-b = k.m

Dengan perkataan lain :

Contoh :

3|(8-2), ditulis dalam bentuk kongruensi 8≡2 (mod 3), yang artinya 8-2 adalah kelipatan 3. a ≢ b (mod m). Bila m tidak habis membagi (a-b), maka dikatakan “a inkongruensi b modula m” ditulis : a ≢ b (mod m)

Contoh :

3+ (8-3), ditulis dalam bentuk kongruensi 8 ≡ 3(mod 3)  artinya 8-3 =3 bukan kelipatan 3. Bila b=0, maka m membagi a, (m|a) atau a kelipatan m, maka a = k.m atau a ≡ 0 (mod m).

Misalnya 38 mod 5 = 3 dan 13 mod 5 = 3, maka kita katakan 38. 13 (mod 5) (kita baca 38 kongruen dengan 13 dalam modulo 5).

Misalkan a dan b adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan > 0, maka a dan b (mod m) jika m habis membagi a – b. Jika a tidak kongruen dengan b dalam modulus m, maka ditulis a ≢b (mod m) .

Selanjutnya, sesuai dengan pengertian kongruensi di atas, berbagai persoalan sehari-hari yang berkaitan dengan modulo adalah seperti: kerja arloji menggunakan modulo 12 untuk jam, menggunakan modulo 60 untuk menit dan detik, kerja kalender menggunakan modulo 7 untuk sehari-hari dalam seminggu, menggunakan modulo 5 untuk panca wara (pasaran) yaitu: (manis, pahing, pon, wage, kliwon), dan menggunakan modulo 12 bulan-bulan dalam setahun.

            Untuk memantapkan pemahaman tentang definisi di atas, perhatikan contoh di bawah ini:

Contoh 1.

Periksa apakah kongruensi berikut benar atau salah? Berikan alasan!:

(a)    5 ≡ 19 (mod 7)

(b)   15 ≡ 1 (mod 7)

(c)    20 ≡ 3 (mod 7)

(d)   -31 ≡ 4 (mod 7)

(e)    33 ≡ 3 (mod 7)

Jawab

(a)    5 ≡ 19 (mod 7) benar, karena 5 – 19 = -14 kelipatan dari 7 atau 7|-14

(b)   15 ≡ 1 (mod 7) benar, karena 15 – 1 = 14 kelipatan dari 7 atau 7|14

(c)    20 ≡ 3 (mod 7) salah, karena 20 – 3 = 17 bukan kelipatan dari 7 atau 7|/17 hal ini ditulis 20 ≢ 3 (mod 7).

(d)   -31 ≡ 4 (mod 7) benar, karena -31 – 4 = -35 kelipatan dari 7 atau 7|-35

(e)    33 ≡ 3 (mod 7) salah, karena 33 – 3 = 30 kelipatan dari 7 atau 7|/30 hal ini ditulis 33 ≢ 3 (mod 7).